Análisis de Varianza
Introducción
El análisis de
la varianza (o Anova: Analysis of variance) es un método
para comparar dos o más medias, que es necesario porque cuando se quiere
comparar más de dos medias es incorrecto utilizar repetidamente el contraste
basado en la t de Student. Por dos motivos:
En
primer lugar, y como se realizarían simultánea e independientemente varios
contrastes de hipótesis,
la probabilidad de
encontrar alguno significativo por azar aumentaría. En cada contraste se
rechaza la H0 si la t supera el nivel crítico, para lo que, en la hipótesis
nula, hay una probabilidada. Si se realizan m contrastes independientes, la
probabilidad de que, en la hipótesis nula, ningún estadístico supere el valor
crítico es (1 - a)m, por lo tanto, la probabilidad de que alguno lo
supere es 1 - (1 - a)m, que para valores de
a
próximos a 0 es aproximadamente igual a am. Una primera
solución, denominada método de Bonferroni, consiste en bajar el valor de a,
usando en su lugar a/m, aunque resulta un método muy conservador.
Por
otro lado, en cada comparación la hipótesis nula es que las dos muestras
provienen de la misma población,
por lo tanto, cuando se hayan realizado todas las comparaciones, la hipótesis
nula es que todas las muestras provienen de la misma población y, sin embargo,
para cada comparación, la estimación de la varianza necesaria para el contraste
es distinta, pues se ha hecho en base a muestras distintas.
El
método que resuelve ambos problemas es
el anova, aunque es algo más que esto: es un método que permite comparar varias
medias en diversas situaciones; muy ligado, por tanto, al diseño de
experimentos y,
de alguna manera, es la base del análisis multivariante.
Supónganse
k muestras aleatorias independientes, de tamaño n, extraídas de una única
población normal. A partir de ellas existen dos maneras independientes de
estimar la varianza de la población s2:
1)
Una llamada varianza dentro de los grupos
(ya que sólo contribuye a ella la varianza dentro de las muestras), o varianza
de error, o cuadrados medios
del error, y habitualmente representada por MSE (Mean Square Error) o MSW (Mean
Square Within) que se calcula como la media de las k varianzas muestrales (cada
varianza muestral es un estimador centrado de s2 y la media de k
estimadores centrados es también un estimador centrado y más eficiente que
todos ellos). MSE es un cociente: al numerador se le llama suma de cuadrados
del error y se representa por SSE y al denominador grados de libertad
por ser los términos independientes de la suma de cuadrados.
2)
Otra llamada varianza entre grupos (sólo contribuye a ella la varianza entre
las distintas muestras), o varianza de los tratamientos, o cuadrados medios de
los tratamientos y representada por MSA o MSB (Mean Square Between). Se calcula
a partir de la varianza de las medias muestrales y es también un cociente; al
numerador se le llama suma de cuadrados de los tratamientos (se le representa
por SSA) y al denominador (k-1) grados de libertad.
MSA
y MSE, estiman la varianza poblacional en la hipótesis de que las k muestras
provengan de la misma población. La distribución
muestral del cociente de dos estimaciones independientes de la varianza de una
población normal es una F con los grados de libertad correspondientes al
numerador y denominador respectivamente, por lo tanto se puede contrastar dicha
hipótesis usando esa distribución.
Si
en base a este contraste se rechaza la hipótesis de que MSE y MSA estimen la
misma varianza, se puede rechazar la hipótesis de que las k medias provengan de
una misma población.
Aceptando que las muestras provengan de poblaciones con la misma varianza, este
rechazo implica que las medias poblacionales son distintas, de modo que con un
único contraste se contrasta la igualdad de
k medias.
Existe una tercera manera de estimar la varianza de la población, aunque no es
independiente de las anteriores. Si se consideran las kn observaciones como una
única muestra,
su varianza muestral también es un estimador centrado de s 2:
Se suele representar por MST, se le denomina varianza total o cuadrados medios
totales, es también un cociente y al numerador se le llama suma de cuadrados
total y se representa por SST, y el denominador (kn -1) grados de libertad.
Los
resultados de un anova se suelen representar en una tabla como la siguiente:
|
Fuente
de variación
|
G.L.
|
SS
|
MS
|
F
|
|
Entre
grupos
Tratamientos
|
k-1
|
SSA
|
SSA/(k-1)
|
MSA/MSE
|
|
Dentro
Error
|
(n-1)k
|
SSE
|
SSE/k(n-1)
|
|
|
Total
|
kn-1
|
SST
|
|
|
Y
el cociente F se usa para realizar el contraste de la hipótesis de medias
iguales. La región crítica
para dicho contraste es F > Fa(k-1,(n-1)k)
Algunas
propiedades
Es
fácil ver en la tabla anterior que
GLerror+
GLtrata = (n - 1) k + k - 1 = nk - k + k - 1 = nk - 1 = GLtotal
No
es tan inmediato, pero las sumas de cuadrados cumplen la misma propiedad,
llamada identidad o
propiedad aditiva de la suma de cuadrados:
SST
= SSA + SSE
El
análisis de la varianza se puede realizar con tamaños muestrales iguales o
distintos, sin embargo es recomendable iguales tamaños por dos motivos:
La
F es insensible a pequeñas variaciones en la asunción de igual varianza, si el
tamaño es igual.
Igual
tamaño minimiza la probabilidad de error tipo II.
El
anova permite distinguir dos modelos para la hipótesis alternativa:
Modelo I
o de efectos fijos en el que la H1 supone que las k muestras son muestras de k
poblaciones distintas y fijas.
Modelo II o de efectos aleatorios en el que se supone que las k muestras, se
han seleccionado aleatoriamente de un conjunto de m>k poblaciones.
Un ejemplo de modelo I de anova es que se asume que existen cinco poblaciones
(sin tratamiento, con poca sal, sin sal, etc.) fijas, de las que se han
extraído las muestras.
Un ejemplo de modelo II sería: un investigador está interesado en determinar el
contenido, y sus variaciones, de grasas en
las células
hepáticas de cobayas; toma del animalario 5 cobayas al azar y les realiza, a
cada una, 3 biopsias hepáticas.
La
manera más sencilla de distinguir entre ambos modelos es pensar que, si se
repitiera el estudio un tiempo
después, en un modelo I las muestras serían iguales (no los individuos que las
forman) es decir corresponderían a la misma situación, mientras que en un
modelo II las muestras serían distintas.
Aunque las asunciones iniciales y los propósitos de ambos modelos son
diferentes, los cálculos y las pruebas de
significación son los mismos y sólo difieren en la interpretación y
en algunas pruebas de hipótesis suplementarias.
Análisis
de la varianza de dos factores
Es un diseño de anova que permite estudiar simultáneamente los efectos de dos fuentes de
variación.
En cualquier caso, el investigador puede estar interesado en estudiar si hay, o
no, diferencia en la evolución
según el sexo.
En un anova de dos vías se clasifica a los individuos de acuerdo a dos factores
(o vías) para estudiar simultáneamente sus efectos. En este ejemplo se harían
cinco grupos de tratamiento para los hombres y otros cinco para las mujeres, en
total diez grupos; en general, si el primer factor tiene a niveles y el segundo
tiene b, se tendrán ab muestras o unidades experimentales, cada una con n
individuos o repeticiones.
Una
observación
individual se representa como:
El primer subíndice indica el nivel del primer factor, el segundo el nivel del
segundo factor y el tercero la observación dentro de la muestra. Los factores
pueden ser ambos de efectos fijos (se habla entonces de modelo I), de efectos
aleatorios (modelo II) o uno de efectos fijos y el otro de efectos aleatorios
(modelo mixto). El modelo matemático de este análisis es:
modelo I
modelo II
modelo mixto
donde
m es la media global, a i o Ai el efecto del nivel i del 11 factor, bj o
Bj el efecto del nivel j del 2º factor y eijk las desviaciones
aleatorias alrededor de las medias, que también se asume que están normalmente
distribuidas, son independientes y tienen media 0 y varianza s 2.
A las condiciones de muestreo
aleatorio, normalidad e independencia,
este modelo añade la de aditividad de los efectos de los factores.
A los términos (a b )ij, (AB)ij, (a B)ij, se les denomina interacción
entre ambos factores y representan el hecho de que el efecto de un determinado
nivel de un factor sea diferente para cada nivel del otro factor.
Para
entender mejor este concepto de
interacción veamos un ejemplo sencillo sobre un anova de dos factores, cada uno
con dos niveles: supóngase un estudio para analizar el efecto de un somnífero
teniendo en cuenta el sexo de los sujetos. Se eligen al azar dos grupos de
hombres y otros dos de mujeres. A un grupo de
hombres y otro de mujeres se les suministra un placebo y a los otros grupos el
somnífero. Se mide el efecto por el tiempo que los sujetos tardan en dormirse
desde el suministro de la píldora.
Se
trata de un anova de dos factores (sexo y fármaco) fijos, cada uno con dos
niveles (hombre y mujer
para el sexo y somnífero y placebo para el fármaco). Los dos tipos de
resultados posibles se esquematizan en la figura
A B
En
la figura A se observa que las mujeres tardan más en dormirse, tanto en el
grupo tratado como en el grupo placebo (hay un efecto del sexo) y que los tratados
con placebo tardan más en dormirse que los tratados con somnífero en ambos
sexos (hay un efecto del tratamiento). Ambos efectos son fácilmente
observables.
Sin
embargo en la figura B es difícil cuantificar el efecto del somnífero pues es
distinto en ambos sexos y, simétricamente, es difícil cuantificar el efecto del
sexo pues es distinto en ambos grupos de tratamiento. En este caso, se dice que
existe interacción.
Podría,
incluso, darse el caso de que se invirtieran los efectos de un factor para los
distintos niveles del otro, es decir, que las mujeres se durmieran antes con el
somnífero y los hombres antes con el placebo.
La
interacción indica, por tanto, que los efectos de ambos factores no son
aditivos: cuando se dan juntos, su efecto no es la suma de los efectos que
tienen cuando están por separado, por lo que, si en un determinado estudio se
encuentra interacción entre dos factores, no tiene sentido estimar los efectos
de los factores por separado. A la interacción positiva, es decir, cuando el
efecto de los factores actuando juntos es mayor que la suma de efectos actuando
por separado, en Biología se le denomina sinergia o
potenciación y a la interacción negativa inhibición. En el ejemplo de la figura
B, se diría que el ser mujer inhibe el efecto del somnífero, o que el ser
hombre lo potencia
(según el sexo que se tome como referencia).
Del
mismo modo que se hizo en el anova de una vía, para plantear los contrastes de
hipótesis habrá que calcular los valores
esperados de los distintos cuadrados medios. Los resultados son:
Modelo
I
|
MS
|
Valor
esperado
|
|
MSA
|
|
|
MSB
|
|
|
MSAB
|
|
|
MSE
|
|
Por
lo tanto, los estadísticos MSAB/MSE, MSA/MSE y MSB/MSE se distribuyen como una
F con los grados de libertad correspondientes y permiten contrastar,
respectivamente, las hipótesis:
no
existe interacción (MSAB/MSE)
no
existe efecto del primer factor, es decir, diferencias entre niveles del primer
factor (MSA/MSE)
no
existe efecto del segundo factor (MSB/MSE)
Si
se rechaza la primera hipótesis de no interacción, no tiene sentido contrastar
las siguientes. En este caso lo que está indicado es realizar un análisis de
una vía entre las ab combinaciones de tratamientos para encontrar la mejor
combinación de los mismos.
Videos de Análisis de
varianza
